Dados em Painel: efeitos fixos de tempo

IBM0288 - 2026.1

Prof. Raphael Gouvea

Para reflexão

Aula passada: como painel pode nos ajudar?

A estrutura de dados em painel permite controlar por algumas variáveis omitidas mesmo quando não é possível incluí-las explicitamente na regressão:

  1. Fatores que variam entre unidades mas não variam ao longo do tempo

  2. Fatores que variam ao longo do tempo mas são comuns a todas as unidades

Dica

A regressão com efeitos fixos (1) é uma extensão da regressão múltipla que explora dados em painel para controlar variáveis que diferem entre entidades, mas permanecem constantes ao longo do tempo. Também podem ser incorporados à regressão os chamados efeitos fixos de tempo (2), que controlam variáveis não observadas que são constantes entre entidades, mas variam ao longo do tempo.

Aula passada: identificação efeitos fixos

Hipótese de identificação:

Qualquer mudança na taxa de fatalidade de 1982 a 1988 não pode ser causada por \(Z_i\), pois assumimos que \(Z_i\) não muda entre 1982 e 1988. Ou seja, por hipótese, \(E(u_{it} \mid \text{BeerTax}_{it}, Z_i) = 0\).

Aula passada: estimação efeitos fixos

Três métodos de estimação:

  1. Regressão MQO com n-1 dummies de unidade; ou

    • Regressão MQO com n dummies de unidade, sem intercepto

  2. Regressão MQO com desvios da média por entidade (“entity-demeaned”)

  3. Especificação de diferenças, sem intercepto (funciona apenas para T = 2)

Efeitos fixos de tempo

Uma variável omitida pode variar ao longo do tempo, mas não entre estados:

  • Carros mais seguros (airbags, etc.)

  • Mudanças em leis nacionais.

  • Esses fatores geram interceptos que mudam ao longo do tempo.

  • Seja \((S_t)\) o efeito combinado de variáveis que variam ao longo do tempo, mas não entre estados.

O modelo de regressão populacional resultante é: \[Y_{it} = \beta_0 + \beta_1 X_{it} + \color{red}{\beta_2 Z_i + \beta_3 S_t} + u_{it}\]

Efeito fixo de tempo

\[Y_{it} = \beta_0 + \beta_1 X_{it} + \color{red}{\beta_3 S_t} + u_{it}\]

De modo semelhante ao modelo de efeito fixo de entidade, o modelo pode ser pensando tendo um intercepto para cada ano:

\[ \begin{aligned} Y_{i,1982} &= \color{red}{\beta_0} + \beta_1 X_{i,1982} + \color{red}{\beta_3 S_{1982}} + u_{i,1982} \\ & = \color{red}{(\beta_0 + \beta_3 S_{1982})} + \beta_1 X_{i,1982} + u_{i,1982} \\ & = \color{red}{\lambda_{1982}} + \beta_1 X_{i,1982} + u_{i,1982} \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} Y_{i,1983} &= \color{red}{\beta_0} + \beta_1 X_{i,1983} + \color{red}{\beta_3 S_{1983}} + u_{i,1983} \\ & = \color{red}{(\beta_0 + \beta_3 S_{1983})} + \beta_1 X_{i,1983} + u_{i,1983} \\ & = \color{red}{\lambda_{1983}} + \beta_1 X_{i,1983} + u_{i,1983} \end{aligned} \]

\[ Y_{it} = \color{red}{\lambda_{t}} + \beta_1 X_{it} + u_{it} \]

Forma equivalente: variáveis dummy

\[ Y_{it} = \color{red}{\gamma_1 T1_t + \gamma_2 T2_t + \cdots + \gamma_T DT_t} +\beta_1 X_{it}+ u_{it} \] onde:

\[D1_{t} = \begin{cases} 1, & \text{para } t=1, \\ 0, & \text{para } t \neq 1. \end{cases} \]

Desvios da média (demean)

  • O modelo de efeito fixo de tempo: \[ \color{green}{Y_{it}} = \color{red}{\lambda_t} + \color{blue}{\beta_1}\color{green}{X_{it}} + \color{green}{u_{it}} \]

  • Se calcularmos a média entre unidades \((\sum_{i=1}^{n}/n)\), temos: \[ \color{brown}{\bar{Y}_t} = \color{red}{\lambda_t} + \color{blue}{\beta_1} \color{brown}{\bar{X}_t} + \color{brown}{\bar{u}_t} \]

  • Subtraindo a primeira equação da segunda:\[ (\color{green}{Y_{it}} - \color{brown}{\bar{Y}_t}) =\color{blue}{\beta_1} (\color{green}{X_{it}} - \color{brown}{\bar{X}_t}) + (\color{green}{u_{it}} - \color{brown}{\bar {u}_t}) \]

  • Definindo \(\color{red}{\tilde{Y}_{it}} = \color{green}{Y_{it}} - \color{brown}{\bar{Y}_t}\) (e fazendo o mesmo para \(X\) e \(u\)):\[ \color{red}{\tilde{Y}_{it}} = \color{blue}{\beta_1} \color{red}{\tilde{X}_{it}} +\color{red}{\tilde{u}_{it}} \]

Desvios da média (cont.)

Resultados do slide anterior implicam que:

  • O coeficiente \(\beta_1\) estimado por efeito fixo de tempo pode ser obtido fazendo-se a regressão de “demeaned” \(Y\) em “demeaned \(X\), onde “demeaned” significa subtrair a média entre unidades para um mesmo período.

  • Ou seja, trabalhamos com as variáveis \(Y\) e \(X\) como desvios de suas médias entre unidades para um dado período.

Estimação: efeitos fixos de tempo

Dois métodos de estimação:

  1. Regressão MQO com T-1 dummies de tempo; ou

    • Regressão MQO com T dummies de tempo, sem intercepto

  2. Regressão MQO com desvios da média entre entidades (“time-demeaned”)

Two-Way Fixed Effects

Normalmente queremos incluir efeitos fixos de unidade e efeitos fixos de tempo: \[ Y_{it} = \color{red}{\alpha_i} + \color{red}{\lambda_t} + \beta_1 X_{it} + u_{it} \]

Possível estimar de três formas:

  1. Incluir \(n\) variáveis binárias específicas da unidade e (\(T-1\)) variáveis binárias específicas de tempo ou \(T\) variáveis binárias específicas de tempo e \(n-1\) variáveis binárias específicas da unidade.

  2. Subtrair as médias específicas da unidade, calculando os desvios das médias de \(X\) e \(Y\). Em seguida, regredir “desvio \(Y\)” em “desvio \(X\)”, incluindo \(T\) dummies de tempo.

  3. Subtrair as médias de unidade e as médias de tempo, e regredir o “desvio duplo \(Y\)” em “desvio duplo \(X\)”.

Observação: com \(T=2\), o modelo em diferença com a inclusão do intercepto é equivalente à especificação TWFE.

TWFE para o efeito do álcool sobre fatalidades de trânsito

  • Especificação inclui 55 variáveis! Quais?

  • Inclusão de efeito fixo de tempo:

    • altera pouco o coeficiente de interesse
    • torna as estimativas menos precisas

Efeitos fixos e causalidade

\[ Y_{it} = \beta_1 X_{it} + \alpha_i + u_{it}, \quad i = 1, \ldots, n,\; t = 1, \ldots, T \]

  1. \(E(u_{it} \mid X_{i1}, \ldots, X_{iT}, \alpha_i) = 0\)

  2. \((X_{i1}, \ldots, X_{iT}, u_{i1}, \ldots, u_{iT}), \; i = 1, \ldots, n,\) são i.i.d. de sua distribuição conjunta

  3. Grandes outliers são improváveis: \((X_{it}, u_{it})\) possuem momentos de quarta ordem finitos

  4. Não há multicolinearidade perfeita (quando há múltiplos \(X\)’s)

Observação: As hipóteses 3 e 4 são as mesmas de MQO, mas 1 e 2 diferem.

Hipótese 1

  • \(u_{it}\) tem média zero dado \(\alpha_i\) e \(X_{it}\)

  • Extensão da hipótese #1 do modelo de regressão múltipla

  • Isso implica que não há efeitos defasados omitidos (ou tem que ser incluídos - slide seguinte)

  • Não há causalidade reversa de \(u\) para \(X\) futuro:

    • se um estado apresenta uma taxa de fatalidade particularmente alta neste ano, isso não afeta a decisão de aumentar o imposto sobre a cerveja no futuro

Dica

A plausibilidade da hipótese de não causalidade reversa depende do contexto específico do estudo e é uma das hipóteses de identificação do modelo causal.

Adendo: o modelo TWFE dinâmico

O pressuposto de ausência de efeitos defasados pode ser irrealista a depender da pergunta que se quer responder!

  • Ausência de efeitos defasados significa que \(X_t\) afeta apenas \(Y_t\) e não \(Y_{t+1}, Y_{t+2}, \ldots\)

  • Para permitir efeitos defasados, podemos usar um modelo TWFE dinâmico: \[ Y_{it} = \alpha_i + \lambda_t + \color{blue}{\beta_0 X_{it}} + \color{blue}{\beta_1 X_{it-1}} + \color{blue}{\beta_2 X_{it-2}} + \cdots + \color{blue}{\beta_m X_{it-m}}+ u_{it} \]

  • Os coeficientes \(\color{blue}{\beta_0, \beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_m}\) acompanham a trajetória temporal do efeito, permitindo que ele se manifeste gradualmente ao longo do tempo.

Hipótese 2

  • Esta é uma extensão da suposição #2 de modelo de regressão múltipla

  • Essa hipótese é satisfeita se as unidades vierem de uma amostra aleatória da população

  • Não é necessário que as observações sejam i.i.d. ao longo do tempo para a mesma unidade: isso seria irrealista! Se um estado tem um imposto sobre a cerveja elevado neste ano, é bem provável (altamente correlacionado) que ele terá um imposto elevado no próximo também.

  • De forma semelhante, o termo de erro será correlacionado \(\text{corr}(u_{it}, u_{i,t+1}) \neq 0\)

Intuição Hipótese 2

Independência e autocorrelação dos resíduos:

\[ \begin{array}{cccccc} & i=1 & i=2 & i=3 & \cdots & i=n \\ t=1 & u_{11} & u_{21} & u_{31} & \cdots & u_{n1} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ t=T & u_{1T} & u_{2T} & u_{3T} & \cdots & u_{nT} \end{array} \]

\[ \leftarrow \text{Amostragem é i.i.d. entre unidades} \rightarrow \]

  • Se as unidades vêm de uma amostra aleatória, então \((u_{i1}, \ldots, u_{iT})\) é independente de \((u_{j1}, \ldots, u_{jT})\) para unidades diferentes \(i \neq j\).

  • Mas, se os fatores omitidos que compõem \(u_{it}\) são serialmente correlacionados, então \(u_{it}\) também será serialmente correlacionado.

Clustered Standard Errors

  • A hipótese 2 implica que as observações são independentes entre diferentes unidades.

    • \(u_{1982,CA}\) não ajuda a prever \(u_{1982,MA}\).

  • Porém, essa hipótese não se verifica para as observações pertencentes à mesma unidade, ou seja, elas não são independentes entre si.

    • autocorrelação: \(u_{1982,CA}\) provavelmente ajuda a prever \(u_{1983,CA}\).

  • Erros-padrão agrupados (Clustered SEs) assumem que as variáveis são i.i.d. entre unidades, mas permitem que sejam autocorrelacionadas dentro de cada unidade!

  • A fórmula é complexa, mas pacotes estatísticos computam os erros-padrão corrigidos quando solicitado.

Propriedades do MQO em painel

  • O estimador de efeito fixo por MQO de \(\hat{\beta}_1\) é não-viesado, consistente e assintóticamente tem distribuição normal.

  • No entanto, os erros-padrão usuais de MQO (tanto os que assumem homocedasticidade quanto os robustos à heterocedasticidade) são incorretos em geral, pois assumem que \(u_{it}\) não é serialmente correlacionado!

    • Na prática, os erros-padrão de MQO frequentemente subestimam a verdadeira incerteza amostral: se \(u_{it}\) é correlacionado ao longo do tempo, você não dispõe de tanta informação (ou variação aleatória) quanto teria se \(u_{it}\) fosse não correlacionado.

  • Esse problema é resolvido utilizando erros-padrão “clusterizados”.

Como apresentar resultados de um estudo empírico?

  • Normalmente rodamos várias regressões (especificação de base + alternativas).

  • Usamos tabelas para apresentar resultados de múltiplas especificações.

  • Cada especificação corresponde a uma coluna.

  • A tabela deve incluir, para cada especificação:

    1. Coeficientes estimados.
    2. Erros-padrão.
    3. Número de observações.
    4. Medidas de ajuste.
    5. Estatísticas F relevantes, se houver.

Pensando no caso de fatalidades no trânsito e álcool quais especificações vocês utilizariam?

Fatalidades no trânsito e álcool

Outras evidências

Meta-análise (Wagenaar, Salois & Komro, 2009): 112 estudos sobre o efeito de preços e impostos sobre álcool.

  • Elasticidades estimadas:

    • Cerveja: -0,46
    • Vinho: -0,69
    • Destilados: -0,80

  • Conclusão: impostos sobre álcool reduzem consumo significativamente, mais que outros programas.

  • Idade mínima para beber (Carpenter & Dobkin, 2011):

    • Aumentar a idade mínima legal reduz fatalidades entre motoristas jovens, principalmente à noite.

    • Observação: não controlam para outras variáveis de consumo/leis de trânsito.