Inferência Causal Baseada em Regressões

IBM0288 - 2026.1

Prof. Raphael Gouvea

Para reflexão

Tipos de Dados

Em econometria, os dados provêm de duas fontes principais:

• Dados Experimentais: Provenientes de experimentos aleatórios controlados (seção anterior). Menos comuns em economia por questões éticas e financeiras.

• Dados Observacionais: Obtidos pela observação do comportamento no mundo real (censos, pesquisas, registros administrativos). O desafio é isolar o efeito causal de outros fatores.

Estrutura de Dados

Em econometria, os dados são organizados em três estruturas fundamentais

1. Corte Transversal (Cross-sectional): Observações de diferentes entidades (países, estados, indivíduos) em um único período de tempo.

# Construindo um data.frame de Corte Transversal
dados_corte_transversal <- data.frame(
  entidade = c("Distrito A", "Distrito B", "Distrito C", "Distrito D", "Distrito E"),
  nota_teste = c(650, 620, 680, 590, 710)
)

head(dados_corte_transversal)

    entidade nota_teste
1 Distrito A        650
2 Distrito B        620
3 Distrito C        680
4 Distrito D        590
5 Distrito E        710

2. Séries Temporais: Observações de uma única entidade ao longo de vários períodos de tempo.

# Construindo um data.frame de Séries Temporais
dados_serie_temporal <- data.frame(
  ano = 2010:2015,
  indice_macro = c(102.48, 101.79, 105.03, 112.64, 111.47, 109.13)
)

head(dados_serie_temporal)

   ano indice_macro
1 2010       102.48
2 2011       101.79
3 2012       105.03
4 2013       112.64
5 2014       111.47
6 2015       109.13

Aviso

Séries Temporais é conteúdo de Econometria II e não será tratado neste curso.

3. Dados em Painel ou Longitudinais: Múltiplas entidades, onde cada uma é observada em dois ou mais períodos de tempo.

dados_painel <- data.frame(
  pais = rep(c("Argentina", "Brasil"), each = 4),
  ano = rep(2010:2013, 2),
  indice_macro = c(82.25, 81.70, 85.12, 87.50, 102.48, 101.79, 105.03, 112.64)
)

head(dados_painel, n = 8)

       pais  ano indice_macro
1 Argentina 2010        82.25
2 Argentina 2011        81.70
3 Argentina 2012        85.12
4 Argentina 2013        87.50
5    Brasil 2010       102.48
6    Brasil 2011       101.79
7    Brasil 2012       105.03
8    Brasil 2013       112.64

Regressão

Educação privada de elite

Vale a pena pagar uma universidade privada de elite? Por que?

Existe prêmio (diferencial salarial futuro) por estudar em universidade privada de elite?

Como separar efeito causal de viés de seleção?

Trade-offs

Custos

• Universidade privada de elite: ~US$ 29 mil/ano

• Universidade pública estadual: ~ US$ 9 mil/ano

• Diferença: ~US$ 20 mil/ano

• Investimento total: > US$ 100 mil

Benefícios

• Turmas menores

• Professores renomados

• Estrutura moderna

• Colegas mais seletos

• Networking

Questão central

• Vale a pena pagar a diferença de custo?

• Comparações simples (Harvard vs. U-Mass ou IBMEC vs UNB) são viesadas

  • Por que?

• Problema de seleção: diferenças de notas, renda e motivação entre admitidos cada tipo de universidade

Pare refletir

• Nancy Quian (prof. de Northwestern): passou em Harvard → escolheu UT por bolsa

• Amanda Pallais (prof. Harvard): passou em várias elites → escolheu UVA

• Ambas tiveram carreiras de sucesso

O que fazer?

Problema

• Diferenças de renda refletem:
  • Tanto a qualidade da instituição
    
  • Quanto as características dos alunos

Desafio
- Harvard não sorteia vagas
- Não há experimento aleatório que possamos usar

Possível solução

• Explorar quase-aleatoriedade:
  • Bolsas de estudo
    
  • Circunstâncias pessoais
    
  • Timing de decisões
• Resultado: grupos de tratamento e controle obtidos por exprimento natural

Dica

É muito provável que exista prêmio de estudar em uma escola de elite, mas separar efeito causal de viés de seleção exige método rigoroso.

Notas e Tamanho das Turmas

Reduzir o tamanho das turmas melhora o desempenho escolar dos alunos?

Pergunta de política pública

• Dilema: Contratar mais professores para reduzir o número de alunos por sala custa o dinheiro dos contribuintes. Esse investimento compensa?

Questão de Inferência Causal: necessidade de isolar e conhecer o efeito causal de diminuir a turma em 1 aluno sobre as notas nos testes.

Pergunta da família

• Dilema: Escolher o distrito escolar do filho que levará ao melhor desempenho acadêmico possível usando o tamanho da turma como indicador.

Questão de Previsão: Não importa o mecanismo causal, necessidade é prever o resultado a partir de variável indicadora

Inferência causal e regressões

Estimação:

• Como devemos traçar uma linha através dos dados para estimar o efeito tratamento?

• Quando o parâmetro estimado identifica o efeito causal?

• Quais são as vantagens e desvantagens do MQO?

Inferência:

• Como testar se o efeito tratamento é igual a zero?

• Como construir um intervalo de confiança para o efeito tratamento?

Importante

Inferência causal e previsão impõem requisitos diferentes aos dados, ainda que ambas utilizem regressão.

O modelo de regressão linear

\[ Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_i + u_i \]

• \(Y\): variável dependente

• \(X\): variável independente (regressor)

• \(\beta_0 + \beta_1 X_i\): função de regressão populacional

• \(\beta_0\): intercepto populacional

• \(\beta_1\): inclinação populacional

• \(u_i\): termo de erro populacional

Exemplo

Modelo:

\[ \text{TestScore}_i = \beta_0 + \beta_1 \ \text{STR}_i + u_i \]

Média condicional:

\[ E(\text{TestScore} \mid \text{STR}) = \beta_0 + \beta_1\,\text{STR} \]

Estimação do modelo de regressão linear

• Podemos estimar \(\beta_0\) e \(\beta_1\) a partir de uma amostra.

• Escolher \(\beta_0\),\(\beta_1\) para ajustar melhor aos dados.

MQO: um problema de minimização

Melhor ajuste = minimizar erros de previsão ao quadrado.

\[ (\hat\beta_0,\hat\beta_1) \;=\; \arg\min_{b_0,b_1} \sum_{i=1}^n \left(Y_i - [b_0 + b_1 X_i]\right)^2 \]

A solução do problema acima define os estimadores de Mínimos Quadrados Ordinários (MQO).

\[ \hat\beta_1 \;=\; \frac{\sum_{i=1}^n (X_i - \bar X)(Y_i - \bar Y)}{\sum_{i=1}^n (X_i - \bar X)^2} =\frac{Cov(X,Y)}{Var(X)} \]

\[ \hat\beta_0 \;=\; \bar Y - \hat\beta_1 \bar X \]

Os estimadores de MQO

• Modelo de regressão linear: \(\hat Y_i \;=\; \hat\beta_0 + \hat\beta_1 X_i + \hat u_i\)

• Os coeficientes \(\hat\beta_0\) e \(\hat\beta_1\) são estimativas pontuais dos parâmetros populacionais \(\beta_0\) e \(\beta_1\) a partir dos dados da amostra

• \(\hat Y_i = \hat\beta_0 + \hat\beta_1 X_i\): valor previsto de \(Y_i\) com base em \(X_i\).

• \(\hat u_i\): resíduo da regressão (estimador do erro \(u_i\)).

Dica

O erro de regressão captura todos os fatores omitidos no modelo. Em geral, esses fatores omitidos são outros fatores que influenciam \(Y\), além da variável \(X\).

Estimativas do exemplo

Interpretação

• Distritos com um aluno a mais por professor, em média, têm pontuações em testes 2,28 pontos menores:

\[\hat\beta_1 = \frac{\Delta E(\text{TestScore} \mid \text{STR})}{\Delta \text{STR}}=-2,28\]

• Note que como \(Y = \beta_0 + \beta_1 X\), se \(X\) muda por uma quantidade \(\Delta X\), então \(Y\) muda por: \(\Delta Y = \beta_1 \Delta X\)

Dica

\(\beta_0\) é o valor esperado de \(Y\) quando \(X = 0\). Em muitos modelos econômicos, \(X = 0\) não faz sentido prático, então \(\beta_0\) serve apenas para posicionar a reta de regressão.

Ajuste do modelo: \(R^2\)

• \(Y_i = \hat Y_i + \hat u_i = \text{Predição de MQO} +\text{Resíduo de MQO}\)

• \(\mathrm{Var}(Y_i) = \mathrm{Var}(\hat Y_i) + \mathrm{Var}(\hat u_i)\)

• \(R^2 = \frac{\mathrm{Var}(\hat Y_i)}{\mathrm{Var}(Y_i)+\mathrm{Var}(u_i)}=\frac{\mathrm{Var}(\hat Y_i)}{\mathrm{Var}(Y_i)}=\frac{\sum_{i=1}^{n}(\hat Y_i - \bar Y)²}{\sum_{i=1}^{n}( Y_i - \bar Y)²} = \frac{ESS}{TSS}\)

ESS: Soma dos quadrados explicados

TSS: Soma dos quadrados totais

Visualização de \(R^2\) distintos

Importante

Não iremos focar nas medidas de ajuste neste curso. Essas medidas têm deixado de ser enfatizadas. O foco é nas hipóteses de identificação de causalidade!

Ajuste do modelo: SER

• SER: Standard Error of the Regression

• Mede a dispersão dos resíduos em torno da reta.

\[ SER \;=\; \hat\sigma_u \;=\; \sqrt{\frac{1}{n-2}\sum_{i=1}^n \hat u_i^{\,2}} \]

Condierações sobre ajuste de modelo

• Espere \(R^2\) baixo quando muitos fatores não observados afetam \(Y\).

• O SER informa a magnitude típica do erro de previsão.

Importante

Não iremos focar nas medidas de ajuste neste curso. Essas medidas têm deixado de ser enfatizadas. O foco é nas hipóteses de identificação de causalidade!

Distribuição amostral dos estimadores

• \(\hat\beta_0\) e \(\hat\beta_1\) são variáveis aleatórias (por que?).

• \(E[\hat\beta_0]=\beta_0\) e \(E[\hat\beta_1]=\beta_1\)

• \(\hat\beta_0\) e \(\hat\beta_1\) são normalmente distribuídos em amostras grandes

• \(\hat\beta_0 \sim N(\beta_0, \sigma_{\beta_0}^2)\) e \(\hat\beta_1 \sim N(\beta_1, \sigma_{\beta_1}^2)\)

• O que determina \(\sigma_{\beta_0}^2\) e \(\sigma_{\beta_1}^2\)?

Variância do estimador - intuição

• O número de observações em preto e azul são iguais

• Todas observações vêm da mesma distribuição conjunta

• Para qual dos dois grupos a reta de regressão é melhor estimada?

• Aumentar dispersão de X diminui a \(var(\beta_1)\)

Homocedasticidade vs Heterocedasticidade

• Conceito relacionado à variância condicional do termo de erro:

\[ var(u\mid X = x) \]

• Homocedasticidade: \(var(u\mid X = x)\) é constante (não depende de \(X\))

• Heterocedasticidade: \(var(u\mid X = x)\) varia com \(X\)

Visualização

Quando devemos usar desvios-padrões sob homocedasticidade ou não robustos?

Dica

NUNCA! Os devios-padrão robustos são sempre mais adequados já que também são válidos sob a hipótese de homocedasticidade.

Testes de hipóteses

\[ H_0:\; \beta_k=\beta_{k,0} \qquad\text{vs.}\qquad H_1:\; \beta_k\neq\beta_{k,0} \]

Passos práticos para testar \(H_0\):

1. Estime \(\hat\beta_1\) e \(SE(\hat\beta_1)\).

2. Calcule a estatística \(t\)

3. Calcule o p-valor

1. Estime \(\hat\beta_1\) e \(SE(\hat\beta_1)\)

• \(SE(\hat\beta_1)\) é o estimador da variância de \(\hat\beta_1\) (\(\sigma_{\hat\beta_1}\))

• Erro-padrão robusto (ajuste para heteroscedasticidade) - regressão simples:

\[SE(\hat\beta_1) = \sqrt\sigma_{\hat\beta_1}=\frac{1}{n}\times\frac{\frac{1}{n-2}\sum_{i=1}^n(X_i-\bar X)^2\hat u_i^2}{[\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(X_i-\bar X)^2]^2}\]

• Fórmula complicada mas softwares (R, Stata, etc.) calculam automaticamente.

2. Calcule a estatística \(t\)

\[ t = \frac{\text{estimador}-\text{valor hipotético}}{\text{erro padrão do estimador}} \]

• \(t\) tem distribuição normal padrão em grandes amostras

• \(t \sim N(0,1)\)

3. Calcule o p-valor

Seja \(\hat{\beta}_1^{\text{ef}}\) a estimativa efetivamente calculada:

\[ \begin{aligned} \text{p-valor} &= \Pr{H_0}\!\left(\left|\hat{\beta}_1-\beta_{1,0}\right|>\left|\hat{\beta}_1^{\text{ef}}-\beta_{1,0}\right|\right) \\ &= \Pr_{H_0}\!\left(\left|\frac{\hat{\beta}_1-\beta_{1,0}}{SE\!\left(\hat{\beta}_1\right)}\right|>\left|\frac{\hat{\beta}_1^{\text{ef}}-\beta_{1,0}}{SE\!\left(\hat{\beta}_1\right)}\right|\right) \\ &= \Pr_{H_0}\!\left(|t|>\left|t^{\text{ef}}\right|\right) \\ &= \Pr_{H_0}\!\left(|Z|>\left|t^{\text{ef}}\right|\right) \\ &= 2\,\phi\!\left(-\,\left|t^{\text{ef}}\right|\right) \end{aligned} \]

Intervalo de Confiança de 95% para \(\beta_k\)

• Intervalo de Confiança de 95%: intervalo que possui 95% de probabilidade de conter o verdadeiro valor de \(\beta_k\).

• Inclui todos os valores de \(\beta_k\) que não podemos rejeitar ao nível de significância de 5%.

\[ \hat\beta_k - 1,96 \times SE(\hat\beta_k) \leq \beta_k \leq \hat\beta_k + 1,96 \times SE(\hat\beta_k) \]

Aviso

Regra simples: sempre que o módulo da estimativa pontual for duas vezes maior que o desvio-padrão rejeita-se a hipótese nula.

Notas e tamanho das turmas

Efeito causal do tamanho da sala?

Ou alguma outra coisa?

Relações causais entre notas e tamanho das turmas

Quando uma das setas vermelhas está presentes, não é possível garantir que os coeficientes de MQO capturam o efeito causal.

Regressões e causalidade

• Quando \(\beta_1\) pode ser interpretado como efeito causal médio de \(X\) sobre \(Y\)?

• \(X\) precisa ser independente de outros fatores que afetam \(Y\)

  • \(X\) tem que ser independente do termo de erro \(u_i\)

  • \(\operatorname{corr}(X_i,u_i)=0\)

• Isso acontece para dados experimentais!

• Não será sempre verdadeiro para dados observacionais!

Três hipóteses de MQO para inferência causal

1. A variável independente \(X\) é independente do termo de erro \(u_i\)

\[E[u_i\mid X_i]=0; \operatorname{corr}(X_i,u_i)=0\]

2. \((X_i,Y_i)\), \(i=1,\dots,n\), são independentes e identicamente distribuídos (i.i.d.).

   • Algumas violações de indpendência podem ser resolvidas com séries temporais ou dados em painel

3. Sem grandes outliers em \(X\) e/ou \(Y\).

   • A presença de outliers pode distorcer os estimadores de MQO.

Sensibilidade a outliers

Pontos extremos em \(X\) ou \(Y\) podem distorcer a reta.