Revisão de Probabilidade e Estatística

IBM0288 - 2026.1

Prof. Raphael Gouvea

Para reflexão

Revisão de Probabilidade

Variáveis Aleatórias e Distribuições de Probabilidade

• Uma variável aleatória (VA) é uma quantificação numérica de um resultado de um experimento aleatório.
• Existem dois tipos principais de variáveis aleatórias:
  • Variável Aleatória Discreta: Pode assumir um número finito ou contável de valores.
  • Variável Aleatória Contínua: Pode assumir qualquer valor em um intervalo específico.

Distribuição de Probabilidade de uma VA Discreta

A distribuição de probabilidade de uma VA discreta é uma lista de todos os valores possíveis da VA e as probabilidades associadas a cada valor.

• Função de Probabilidade:
  • \(P(Y = y_i)\) para cada valor \(y_i\).
  • A soma de todas as probabilidades deve ser igual a 1.

Distribuição Acumulada

A Função de Distribuição Acumulada (FDA) para qualquer VA é a probabilidade de que a VA seja menor ou igual a um determinado valor:

• \(F(y) = P(Y \le y)\).
• Para VA discreta: \(F(y) = \sum P(Y = y_i)\) para \(y_i \le y\).
• Para VA contínua: \(F(y) = \int_{-\infty}^{y} f(t) dt\).

Distribuições Conjuntas

Distribuição de Probabilidade Conjunta: Descreve a probabilidade de duas ou mais VAs ocorrerem simultaneamente.

• \(P(X=x, Y=y)\) para discretas.

• \(f(x,y)\) para contínuas.

Distribuições Marginais

Distribuição de Probabilidade Marginal: A distribuição de probabilidade de uma única VA, obtida a partir da distribuição conjunta.

• Para discretas: \(P(Y=y) = \sum_x P(X=x, Y=y)\) para todos os \(x\).

• Para contínuas: \(f(y) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x,y) dx\).

Distribuições Condicionais

A distribuição de probabilidade condicional de \(Y\) dado \(X=x\) é a distribuição de \(Y\) para uma dada observação de \(X\):

• \(P(Y=y | X=x) = P(X=x, Y=y) / P(X=x)\).

• \(f(y|x) = f(x,y) / f(x)\).

Independência Estatística

\(X\) e \(Y\) são independentes se a distribuição condicional de \(Y\) dado \(X\) é igual à distribuição marginal de \(Y\): \(P(Y=y | X=x) = P(Y=y)\).

Uma condição equivalente é que a distribuição conjunta seja o produto das distribuições marginais.

• \(P(X=x, Y=y) = P(X=x) P(Y=y)\).

Importante

Se \(X\) e \(Y\) são independentes, saber o valor de \(X\) não fornece informação sobre \(Y\)!

Esperança Matemática (Média)

A esperança matemática ou valor esperado de uma VA é sua média ou valor central.

• Para VA discreta: \(E(Y) = \sum y_i P(Y=y_i)\).

• Para VA contínua: \(E(Y) = \int y f(y) dy\).

• Representa o valor médio de \(Y\) em um grande número de experimentos ou ocorrências repetidas.

Variância e Desvio Padrão

A variância mede a dispersão ou o espalhamento da distribuição de \(Y\) em torno de sua média.

• \(Var(Y) = E[(Y - E(Y))^2]\).

• \(Var(Y) = E(Y^2) - [E(Y)]^2\).

O desvio padrão \(\sigma_Y\) é a raiz quadrada da variância.

Importante

O desvio padrão tem a mesma unidade de medida da VA original!

Covariância

A covariância mede o grau de associação linear entre duas VAs.

• \(Cov(X,Y) = E[(X - E(X))(Y - E(Y))]\).

• \(Cov(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y)\).

Qual a interpretação se \(Cov(X,Y) > 0\)?

E se \(Cov(X,Y) < 0\)?

E se \(Cov(X,Y) = 0\)?

Importante

Se \(X\) e \(Y\) são independentes, \(Cov(X,Y) = 0\)!

Correlação

• O coeficiente de correlação \(\rho_{XY}\) normaliza a covariância, tornando-a uma medida sem unidade.
• \(\rho_{XY} = \frac{Cov(X,Y)}{\sigma_X \sigma_Y}\).
• Os valores variam de -1 a +1.
  • +1 indica uma relação linear positiva perfeita.
  • -1 indica uma relação linear negativa perfeita.
  • 0 indica ausência de relação linear.

Esperança Condicional

A esperança condicional é a média de \(Y\) quando \(X\) assume um valor específico \(x\).

• Para discretas: \(E(Y|X=x) = \sum y P(Y=y|X=x)\).

• Para contínuas: \(E(Y|X=x) = \int y f(y|x) dy\).

• A esperança condicional é uma função de \(X\).

Importante

A experança condicional é um conceito chave para a análise de regressão.

Lei das Expectativas Iteradas

A Lei das Expectativas Iteradas afirma que a esperança incondicional de \(Y\) é a esperança da esperança condicional de \(Y\) dado \(X\).

• \(E(Y) = E[E(Y|X)]\).

Dica

Isso significa que a média geral de \(Y\) pode ser calculada como uma média ponderada das médias condicionais de \(Y\) para cada valor de \(X\).

Variância Condicional

A variância condicional é a variância de \(Y\) quando \(X\) assume um valor específico \(x\).

• \(Var(Y|X=x) = E[(Y - E(Y|X=x))^2 | X=x]\).

• É uma medida da dispersão de \(Y\) em torno de sua média condicional.

Relembrando: Qual a relação deste conceito com o termo homocedásticidade?

A Distribuição Normal

• A distribuição normal é caracterizada por dois parâmetros:

  • \(\mu\) (média)
  • \(\sigma^2\) (variância)

• Representada como \(N(\mu, \sigma^2)\).

• A distribuição normal padrão é um caso especial da distribuição normal com \(\mu=0\) e \(\sigma^2=1\).

• Qualquer VA normal \(Y\) pode ser padronizada para \(Z\) usando a transformação: \(Z = \frac{Y - \mu}{\sigma}\).

A Distribuição Normal

Lei dos Grandes Números

• A Lei dos Grandes Números (LLN) estabelece que a média amostral (\(\bar{Y}\)) de uma sequência de VAs independentes e identicamente distribuídas (i.i.d.) converge em probabilidade para a média populacional (\(\mu_Y\)) à medida que o tamanho da amostra (\(n\)) aumenta.
• Formalmente: \(\bar{Y}\) \(\xrightarrow{p}\) \(\mu_Y\).
• A LLN garante que a média amostral é um estimador consistente da média populacional.

Simulação da LLN

# Utilizar conjunto de pacotes tidyverse
library(tidyverse)

# Parâmetros para Simulação

set.seed(123) # Para reprodutibilidade dos resultados
prob_sucesso <- 0.7 # A "verdadeira" média populacional (p) para uma distribuição Bernoulli
max_amostra <- 5000 # Tamanho máximo da amostra para simular

# Criar uma base de dados para receber os dados simulados
# Usar função 'map' (do pacote purrr) para aplicar funções a cada linha
sim_data <- tibble(n = 1:max_amostra) %>%
  mutate(
    # Gerar 'n' observações de uma Bernoulli para cada 'n'
    amostras = map(n, ~rbinom(.x, size = 1, prob = prob_sucesso)),
    # Calcular a média de cada amostra gerada
    mean_sample = map_dbl(amostras, mean)
  )

# --- Visualização dos Resultados com 'ggplot2' ---
ggplot(sim_data, aes(x = n, y = mean_sample)) +
  # Linha que representa a evolução da média amostral
  geom_line(aes(color = "Média Amostral"), linewidth = 0.8) +
  # Linha horizontal para a verdadeira média populacional
  geom_hline(aes(yintercept = prob_sucesso, color = "Média Populacional"),
             linetype = "dashed", linewidth = 1) +
  # Configurações de cores e legendas para as linhas
  scale_color_manual(
    name = NULL, # Remove o título da legenda
    values = c("Média Amostral" = "darkblue", "Média Populacional" = "red"),
    labels = c(
      "Média Amostral" = "Média Amostral",
      "Média Populacional" = paste("Média Populacional (p =", prob_sucesso, ")")
    )
  ) +
  # Títulos e rótulos dos eixos
  labs(
    title = "Demonstração da Lei dos Grandes Números",
    x = "Tamanho da Amostra (n)",
    y = "Média Amostral"
  ) +
  # Limita o eixo Y para a escala de 0 a 1 (adequado para Bernoulli)
  ylim(0, 1) +
  # Tema visual minimalista para o gráfico
  theme_minimal() +
  # Ajustes finos no tema (título centralizado, posição da legenda)
  theme(
    plot.title = element_text(hjust = 0.5, face = "bold"),
    legend.position = "topright"
  )

Teorema do Central do Limite

O Teorema Central do Limite (CLT) afirma que, sob certas condições (principalmente variância finita), a distribuição da média amostral (\(\bar{Y}\)) se aproxima de uma distribuição normal à medida que o tamanho da amostra (\(n\)) se torna grande.

• Formalmente: \(Z \xrightarrow{d} N(0,1)\).

Importante

• O TLC é crucial porque permite a inferência estatística para grandes amostras mesmo que a população original não seja normalmente distribuída.

Simulação do CLT

library(tidyverse)

# Parâmetros para Simulação
reps <- 10000
sample_sizes <- c(2, 5, 25, 100)
set.seed(123)

# 1. Criar a estrutura de dados simulados
df_sim <- crossing(
    rep = 1:reps, 
    n = sample_sizes
  ) %>%
  # Para cada combinação, geramos a média de n sorteios de Bernoulli(0.5)
  # Usamos rowwise() ou agrupamos por rep e n
  group_by(rep, n) %>% 
  mutate(
    sample_mean = mean(rbinom(n, 1, 0.5))
  ) %>% 
  ungroup() %>%
  # Calculamos a estatística padronizada
  mutate(
    std_sample_mean = sqrt(n) * (sample_mean - 0.5) / 0.5,
    n_label = str_glue("n = {n}") # Cria labels melhores para o gráfico
  ) %>% 
  # Garantir que a ordem dos painéis siga a ordem numérica de n
  mutate(n_label = fct_reorder(n_label, n))

# 2. Criar o gráfico
ggplot(df_sim, aes(x = std_sample_mean)) +
  geom_histogram(aes(y = after_stat(density)), 
                 bins = 40, 
                 fill = "steelblue", 
                 color = "white") +
  stat_function(fun = dnorm, 
                color = "darkred", 
                linewidth = 1) +
  facet_wrap(~ n_label, scales = "fixed") +
  coord_cartesian(xlim = c(-3, 3), ylim = c(0, 0.8)) +
  labs(
    title = "Teorema Central do Limite",
    subtitle = "Aproximação da Bernoulli(0.5) para a Normal Padrão",
    x = "Estatística de Teste Padronizada",
    y = "Densidade"
  ) +
  theme_minimal()

Revisão de Estatística

Amostragem e a Média Amostral

• Uma amostra aleatória simples consiste em \(n\) observações \(Y_1, Y_2, \dots, Y_n\) independentes e identicamente distribuídas (i.i.d.) da população.

• A média amostral é um estimador da média populacional \(\mu_Y\): \(\bar{Y} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} Y_i\)

Importante

Um estimador é uma função de uma amostra de dados selecionados aleatoriamente. Uma estimativa é o valor número do estimador para uma amostra específica.

Importante

Um estimador é uma variável aleatória! Uma estimativa é um número não aleatório!

A média amostral é o único estimador possível da média populacional?

Quais outros estimadores para média populacional vocês conseguem pensar?

Se existem vários estimadores para o mesmo parâmetro, como escolher entre eles?

Propriedades do Estimador de Média

• Não-viesado (Unbiased): \(E(\bar{Y}) = \mu_Y\).
  • Em média, o estimador acerta o verdadeiro valor do parâmetro populacional.
• Consistente (Consistent): \(\bar{Y}\) \(\xrightarrow{p}\) \(\mu_Y\).
  • À medida que o tamanho da amostra aumenta, o estimador converge para o verdadeiro valor do parâmetro.

Qual dos conceitos vistos anteriormente garante que o estimador da média é consistente?

R: Lei dos Grandes Números!

• Variância: \(Var(\bar{Y}) = \sigma_Y^2 / n\).
  • A variância da média amostral diminui com o aumento do tamanho da amostra.

Estimador da Variância

• A variância amostral (\(s_Y^2\)) é um estimador da variância populacional (\(\sigma_Y^2\)).
  • \(s_Y^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (Y_i - \bar{Y})^2\).
• O denominador \((n-1)\) é usado para garantir que \(s_Y^2\) seja um estimador não-viesado de \(\sigma_Y^2\).
• O desvio padrão amostral (\(s_Y\)) é a raiz quadrada de \(s_Y^2\).

Erro Padrão do Estimador

• O erro padrão de um estimador é o desvio padrão de sua distribuição amostral.
• Para a média amostral: \(SE(\bar{Y}) = \sigma_Y / \sqrt{n}\).
• Na prática, \(\sigma_Y\) é desconhecido e é substituído pelo desvio padrão amostral \(s_Y\): \(SE(\bar{Y}) = s_Y / \sqrt{n}\).
• O erro padrão mede a precisão com que o estimador é capaz de estimar o parâmetro populacional.

Testes de Hipóteses

• Um teste de hipóteses é um procedimento para tomar uma decisão sobre uma afirmação (hipótese) referente a um parâmetro populacional.
• Hipótese Nula (\(H_0\)): A afirmação a ser testada (e.g., \(\mu_Y = \mu_{Y,0}\)).
• Hipótese Alternativa (\(H_1\)): A afirmação que se aceita se \(H_0\) for rejeitada (e.g., \(\mu_Y \ne \mu_{Y,0}\), \(\mu_Y > \mu_{Y,0}\), \(\mu_Y < \mu_{Y,0}\)).

Nota

A inferência estatística é o processo de tirar conclusões sobre uma população a partir da análise de uma amostra aleatória.

Dica

Não confundir com inferência causal quando o objetivo é tirar conclusões de causa e efeito.

Estatística de Teste t

• Para testar hipóteses sobre a média populacional \(\mu_Y\), usamos a estatística de teste \(t\).
• Estatística \(t = \frac{\bar{Y} - \mu_{Y,0}}{SE(\bar{Y})}\).
• Em grandes amostras, \(t \sim \mathcal{N}(0,1)\) sob a hipótese nula.

Qual dos conceitos vistos anteriormente garante que a estatísta \(t\) converge para normal padrão?

R: Teorema Central do Limite!

Valor-p (p-value)

• O valor-p é a probabilidade de observar um valor da estatística de teste tão extremo ou mais extremo do que o valor realmente observado na amostra, sob a hipótese nula.

• Um valor-p pequeno sugere que a evidência da amostra é inconsistente com a hipótese nula.

Nível de Significância e Decisão

• Nível de Significância (\(\alpha\)): Um limite pré-determinado (e.g., 0,10, 0,05, 0,01) para o valor-p. Representa a probabilidade de rejeitar \(H_0\) quando ela é verdadeira (Erro Tipo I).

• Regra de Decisão:

  • Se valor-p \(< \alpha\): Rejeite \(H_0\). Há evidência estatística contra a hipótese nula.
  • Se valor-p \(\ge \alpha\): Não rejeite \(H_0\). Não há evidência estatística suficiente para rejeitar a hipótese nula.

Importante

Não rejeitar \(H_0\) não significa que \(H_0\) é verdadeira, apenas que os dados não fornecem evidência para rejeitá-la.

Visualização valor-p/significância

Intervalos de Confiança (IC)

Um intervalo de confiança para a média populacional \(\mu_Y\) é um intervalo de valores plausíveis para \(\mu_Y\), construído a partir dos dados amostrais.

• Um IC de 95% para \(\mu_Y\) é:
  • \(\bar{Y} \pm 1.96 \times SE(\bar{Y})\) (para grandes amostras).
  • \(1.96\) é o valor crítico da distribuição normal padrão para um nível de confiança de 95%.

Importante

Um IC de \(X\)% significa que, se repetirmos o processo de amostragem e construção do IC um grande número de vezes, \(X\)% desses intervalos conteriam o verdadeiro valor do parâmetro populacional.

Importante

Não significa que há \(X\)% de probabilidade de que o intervalo específico contenha o verdadeiro valor!

Importante

Há uma relação direta entre testes de hipóteses e intervalos de confiança: se um valor estiver fora do IC, então a hipótese nula seria rejeitada ao nível de significância definido.

“Professor, na prova vamos ter que consultar as tabelas para fazer os testes e interpretar os resultados?”

Dica

Não! Vamos usar uma regra de bolso: se o valor absoluto da estimativa for maior que o dobro do erro-padrão, o valor está fora do IC e rejeita-se \(H_0\).

Outras distribuições

• Distribuição Qui-quadrado (\(\chi^2\)):

  • Uso: utilizada em testes de hipóteses de restrições múltiplas (e.g., Teste de Wald) e para a distribuição amostral de variâncias.

• Distribuição F

  • Uso: utilizada para testar hipóteses conjuntas sobre coeficientes de regressão (e.g., Teste F) e para comparar variâncias de populações.

• Distribuição Uniforme

  • Uso: probabilidade constante sobre um determinado intervalo. Base para amostragem aleatória e para modelagem de incerteza em alguns contextos.

Outras distribuições (cont.)

• Distribuição Bernoulli / Binomial

  • Uso: Para eventos binários ) ou para a contagem de sucessos em um número fixo de tentativas. Base para modelos de escolha discreta (e.g., Probit, Logit).

• Distribuição de Poisson

  • Uso: Para a contagem de eventos que ocorrem em um intervalo fixo de tempo ou espaço (e.g., número de acidentes, de patentes, de visitas a um site).